Statistiques et probabilités au brevet : fiche mémo
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Cette fiche réunit le vocabulaire, les formules et quatre exercices corrigés de statistiques et de probabilités. Confondre médiane et moyenne, ou trouver une probabilité supérieure à 1, coûte des points faciles.
Les statistiques en bref
Effectif et fréquence
L’effectif d’une valeur est le nombre de fois où elle apparaît. L’effectif total est le nombre de valeurs de la série. La fréquence d’une valeur est son effectif divisé par l’effectif total, écrite en fraction, en nombre décimal ou en pourcentage. Dans une classe de 25 élèves, si 5 élèves ont 12 de moyenne, la fréquence est 5/25 = 0,2 = 20 %. Toutes les fréquences d’une série ont pour somme 1, soit 100 %.
Moyenne simple et moyenne pondérée
La moyenne simple est la somme des valeurs divisée par leur nombre : avec les notes 8, 12 et 16, on obtient (8 + 12 + 16) / 3 = 36 / 3 = 12. La moyenne pondérée tient compte des effectifs ou des coefficients : tu multiplies chaque valeur par son effectif, tu additionnes, puis tu divises par l’effectif total.
Médiane et étendue
Pour trouver la médiane, range d’abord les valeurs dans l’ordre croissant. Avec un effectif impair, c’est la valeur du milieu : pour 3, 7, 8, 12, 15, la médiane est 8. Avec un effectif pair, c’est la moyenne des deux valeurs centrales : pour 3, 7, 8, 12, la médiane est (7 + 8) / 2 = 7,5. Elle sépare la série en deux groupes de même effectif. L’étendue est l’écart entre la plus grande et la plus petite valeur.
Lire un diagramme
Sur un diagramme en bâtons, la hauteur d’un bâton donne l’effectif. Sur un histogramme, les valeurs sont regroupées en classes. Sur un diagramme circulaire, l’angle d’un secteur est proportionnel à l’effectif : 90° sur 360° représentent 25 %. Regarde toujours les axes et l’échelle.
Les probabilités en bref
Une expérience aléatoire est une expérience dont le résultat dépend du hasard. Chaque résultat possible est une issue. Un événement est un ensemble d’issues : avec un dé, « obtenir un nombre pair » regroupe les issues 2, 4 et 6.
La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1. Elle vaut 0 si l’événement est impossible et 1 s’il est certain. Quand toutes les issues ont la même chance (dé équilibré, pièce équilibrée, boule tirée au hasard), il y a équiprobabilité, et P(A) est le nombre d’issues favorables divisé par le nombre d’issues possibles. Avec un dé, P(nombre pair) = 3/6 = 1/2.
L’événement contraire de A, noté « non A », regroupe toutes les issues qui ne réalisent pas A. On a P(non A) = 1 − P(A). Pense-y dès qu’une question contient « ne pas » ou « au moins ».
Dans une expérience à deux épreuves, comme deux lancers de pièce, liste toutes les issues avec un arbre ou un tableau à double entrée. Sur un arbre, tu multiplies les probabilités le long d’une branche, puis tu additionnes les branches qui réalisent l’événement.
Enfin, sur peu d’essais, la fréquence d’une issue peut s’éloigner de sa probabilité : 7 piles sur 10 lancers, c’est possible. Elle s’en rapproche quand tu répètes l’expérience.
Le tableau mémo des formules
| Fréquence | effectif de la valeur ÷ effectif total |
|---|---|
| Moyenne simple | somme des valeurs ÷ nombre de valeurs |
| Moyenne pondérée | somme des (valeur × effectif) ÷ effectif total |
| Médiane | valeur du milieu (effectif impair) ou moyenne des deux valeurs centrales (effectif pair) |
| Étendue | plus grande valeur − plus petite valeur |
| Probabilité, cas équiprobable | nombre d’issues favorables ÷ nombre d’issues possibles |
| Événement contraire | P(non A) = 1 − P(A) |
| Limites d’une probabilité | entre 0 et 1, et la somme sur toutes les issues vaut 1 |
| Arbre à deux épreuves | on multiplie sur une branche, on additionne entre branches |
Quatre exercices corrigés
Exercice 1 : moyenne, médiane, étendue
Énoncé. Un professeur relève les notes de 20 élèves. La note 5 est obtenue par 1 élève, la note 8 par 3 élèves, la note 10 par 5, la note 12 par 6, la note 14 par 4 et la note 20 par 1. Calcule la moyenne, la médiane et l’étendue, puis la fréquence de la note 12 en pourcentage.
Corrigé.
- Moyenne : (1 × 5 + 3 × 8 + 5 × 10 + 6 × 12 + 4 × 14 + 1 × 20) / 20 = (5 + 24 + 50 + 72 + 56 + 20) / 20 = 227 / 20 = 11,35.
- Médiane : l’effectif total, 20, est pair. La note 12 occupe les rangs 10 à 15, donc les 10e et 11e notes valent 12 et la médiane est 12.
- Étendue : 20 − 5 = 15.
- Fréquence de la note 12 : 6 / 20 = 0,3 = 30 %.
Exercice 2 : probabilité et événement contraire
Énoncé. Un sac contient 5 boules rouges, 3 vertes et 2 bleues, indiscernables au toucher. On tire une boule au hasard. Calcule la probabilité de tirer une boule verte, puis celle de ne pas tirer une boule rouge.
Corrigé. Le sac contient 5 + 3 + 2 = 10 boules, qui ont toutes la même chance d’être tirées. Donc P(verte) = 3/10 = 0,3. L’événement « ne pas tirer une rouge » est le contraire de « tirer une rouge », donc P(non rouge) = 1 − 5/10 = 5/10 = 1/2.
Exercice 3 : deux tirages avec remise
Énoncé. Un sac contient 2 boules rouges et 1 boule verte. On tire une boule, on note sa couleur, on la remet, puis on en tire une seconde. Calcule la probabilité d’obtenir deux boules rouges, puis celle d’obtenir deux boules de couleurs différentes.
Corrigé. Comme la boule est remise, chaque tirage donne R avec la probabilité 2/3 et V avec la probabilité 1/3. L’arbre a quatre branches : RR, RV, VR et VV.
- P(RR) = 2/3 × 2/3 = 4/9.
- Couleurs différentes : RV ou VR, donc P = 2/3 × 1/3 + 1/3 × 2/3 = 2/9 + 2/9 = 4/9.
- Vérification : P(VV) = 1/3 × 1/3 = 1/9, et 4/9 + 4/9 + 1/9 = 1.
Exercice 4 : lire un diagramme circulaire
Énoncé. Un diagramme circulaire représente le mode de transport de 40 élèves. Le secteur « vélo » mesure 90° et le secteur « bus » 135°. Combien d’élèves viennent à vélo ? Quelle est la fréquence des élèves qui viennent en bus ?
Corrigé. Le cercle entier, 360°, représente 40 élèves. Pour le vélo, 90 / 360 = 1/4, donc 40 × 1/4 = 10 élèves. Pour le bus, la fréquence est 135 / 360 = 3/8 = 0,375, soit 37,5 %. Cela correspond à 40 × 0,375 = 15 élèves.
Les questions des élèves de 3e
Pourquoi la médiane peut-elle différer de la moyenne ?
La médiane ne dépend que de l’ordre des valeurs, alors que la moyenne prend en compte leur grandeur. Une valeur très éloignée des autres déplace la moyenne sans changer la médiane. Dans l’exercice 1, la moyenne (11,35) est tirée vers le bas par les notes faibles, alors que la médiane vaut 12.
Quand utiliser un arbre et quand utiliser un tableau ?
Le tableau à double entrée convient bien à deux épreuves avec le même type de résultats, comme deux dés. L’arbre est plus pratique quand les probabilités ne sont pas égales, ou quand le second tirage dépend du premier. Dans les deux cas, vérifie que le total des probabilités fait 1.
Je dois donner une probabilité en pourcentage : comment faire ?
Calcule d’abord la fraction, puis divise le numérateur par le dénominateur et multiplie par 100. Par exemple, 3/8 = 0,375, soit 37,5 %. Une probabilité en pourcentage reste entre 0 % et 100 %.
Une leçon de l’équipe Révision Brevet.
