théorème de Pythagore brevet : exercices corrigés
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📋 Sommaire
Le théorème de Pythagore est l’une des notions mathématiques les plus importantes au brevet des collèges. Au programme de la classe de 3e, il revient régulièrement aux examens sous différentes formes : calcul d’une longueur, reconnaissance d’un triangle rectangle, ou résolution de problèmes complexes. Pour réussir cette épreuve, maîtriser les exercices corrigés du théorème de Pythagore est indispensable. Découvrez dans cet article comment aborder ce chapitre avec méthode et confiance.
Comprendre le théorème de Pythagore et sa réciproque
Avant de se lancer dans les exercices, il faut bien assimiler la définition et les principes fondamentaux du théorème de Pythagore.
Le théorème de Pythagore énonce que dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse (le côté opposé à l’angle droit) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Sous forme mathématique : a² + b² = c², où c est l’hypoténuse.
Les trois utilisations principales
- Calculer une longueur manquante : Connaître deux côtés pour retrouver le troisième
- Vérifier qu’un triangle est rectangle : Tester si l’égalité a² + b² = c² est vraie
- Démontrer qu’un triangle n’est pas rectangle : Montrer que l’égalité est fausse
La réciproque du théorème de Pythagore est tout aussi cruciale : si a² + b² = c², alors le triangle est rectangle. Cette propriété permet de vérifier qu’un triangle est rectangle sans mesurer les angles, ce qui est très utile dans les exercices.
Exercices corrigés : calcul de longueur
Exemple 1 : trouver l’hypoténuse
Énoncé : Un triangle ABC est rectangle en A. On donne AB = 5 cm et AC = 12 cm. Calculer BC (l’hypoténuse).
Correction :
On applique le théorème de Pythagore : BC² = AB² + AC²
BC² = 5² + 12²
BC² = 25 + 144
BC² = 169
BC = √169 = 13 cm
Exemple 2 : trouver un côté adjacent
Énoncé : Un triangle DEF est rectangle en D. On donne EF = 15 cm (hypoténuse) et DE = 9 cm. Calculer DF.
Correction :
On utilise le théorème de Pythagore : EF² = DE² + DF²
15² = 9² + DF²
225 = 81 + DF²
DF² = 225 − 81
DF² = 144
DF = √144 = 12 cm
Vérifier si un triangle est rectangle : la réciproque
Exemple 3 : reconnaissance d’un triangle rectangle
Énoncé : On donne un triangle GHI avec GH = 8 cm, HI = 6 cm et GI = 10 cm. Ce triangle est-il rectangle ?
Correction :
On vérifie si l’égalité de Pythagore est satisfaite. Le plus grand côté est GI = 10 cm, ce sera donc l’hypoténuse si le triangle est rectangle.
Vérifions : GH² + HI² = GI² ?
8² + 6² = 10² ?
64 + 36 = 100 ?
100 = 100 ✓
L’égalité est vraie, donc par la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle GHI est rectangle en H.
Exemple 4 : triangle non rectangle
Énoncé : Un triangle JKL a pour dimensions JK = 5 cm, KL = 7 cm et JL = 11 cm. Est-il rectangle ?
Correction :
Testons avec le plus grand côté (JL = 11 cm) comme hypoténuse hypothétique.
JK² + KL² = JL² ?
5² + 7² = 11² ?
25 + 49 = 121 ?
74 ≠ 121 ✗
L’égalité est fausse, donc le triangle JKL n’est pas rectangle.
Problèmes en contexte : exercices types du brevet
Exemple 5 : problème d’échelle
Énoncé :
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❓ Comment reconnaître si je dois utiliser le théorème de Pythagore dans un exercice de brevet ?
Vous devez utiliser le théorème de Pythagore quand vous avez un triangle rectangle et que vous connaissez la longueur de deux côtés. Le théorème s’applique uniquement aux triangles rectangles et permet de calculer le troisième côté en utilisant la relation : a² + b² = c².
❓ Quelle est la formule exacte du théorème de Pythagore ?
La formule est : dans un triangle rectangle, le carré de l’hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Mathématiquement, cela s’écrit c² = a² + b², où c est l’hypoténuse (le côté le plus long, opposé à l’angle droit).
❓ Comment vérifier si un triangle est rectangle au brevet ?
Pour vérifier si un triangle est rectangle, vous pouvez utiliser la réciproque du théorème de Pythagore : calculez a² + b² et comparez avec c². Si l’égalité est vraie, alors le triangle est rectangle. Cette vérification est souvent demandée au brevet.
Rédigé par Dina Alami
Spécialiste de la préparation au brevet des collèges depuis 10 ans. A accompagné plus de 5 000 élèves via les outils pédagogiques BrevetIA.