Théorème de Pythagore au brevet : exercices corrigés

Lecture : environ 5 min

Tu vas savoir énoncer le théorème de Pythagore, sa réciproque et sa contraposée, et surtout les rédiger comme on l’attend sur une copie. Six exercices corrigés couvrent les cas à connaître : une hypoténuse, un côté de l’angle droit, un arrondi, un triangle rectangle ou non, un problème concret.

Le théorème, sa réciproque et sa contraposée

Dans un triangle rectangle, le côté opposé à l’angle droit s’appelle l’hypoténuse. C’est toujours le plus long des trois côtés. Trois énoncés vont ensemble, et chacun répond à une question différente.

Ne confonds pas les deux sens. Le théorème part d’un angle droit connu pour obtenir une égalité de longueurs. La réciproque et la contraposée font le chemin inverse : elles partent des longueurs pour conclure sur l’angle. Si l’énoncé te donne l’angle droit, tu calcules. S’il te demande de prouver que l’angle est droit, tu testes l’égalité.

Une rédaction complète suit toujours le même ordre :

1. Le triangle et son angle droit : « Dans le triangle ABC rectangle en A, »
2. Le nom du théorème : « d’après le théorème de Pythagore, »
3. L’égalité écrite avec les lettres : « BC² = AB² + AC². »
4. Les valeurs de l’énoncé, puis le calcul.
5. La conclusion, avec la racine carrée et l’unité.

Calculer une longueur

Exercice 1 : calculer l’hypoténuse

Énoncé. Le triangle ABC est rectangle en A, avec AB = 9 cm et AC = 12 cm. Calcule BC.

Corrigé. Dans le triangle ABC rectangle en A, d’après le théorème de Pythagore :

1. BC² = AB² + AC²
2. BC² = 9² + 12² = 81 + 144 = 225
3. BC = √225 = 15 cm

Exercice 2 : calculer un côté de l’angle droit

Énoncé. Le triangle DEF est rectangle en D, avec EF = 13 cm et DE = 5 cm. Calcule DF.

Corrigé. [EF] est l’hypoténuse, car elle est opposée à l’angle droit en D. Dans le triangle DEF rectangle en D, d’après le théorème de Pythagore, EF² = DE² + DF². Donc 13² = 5² + DF², soit 169 = 25 + DF². On en déduit DF² = 169 − 25 = 144, donc DF = √144 = 12 cm.

Exercice 3 : donner une valeur arrondie au dixième

Énoncé. Le triangle GHI est rectangle en G, avec GH = 4 cm et GI = 7 cm. Calcule HI, arrondi au dixième de centimètre.

Corrigé. Dans le triangle GHI rectangle en G, d’après le théorème de Pythagore, HI² = GH² + GI² = 4² + 7² = 16 + 49 = 65. Donc HI = √65 cm. La calculatrice donne 8,0622… Le chiffre des centièmes est 6, donc on arrondit au dixième supérieur : HI ≈ 8,1 cm.

Montrer qu’un triangle est rectangle ou non

Ici, tu connais les trois longueurs et tu ne sais pas si l’angle est droit. Calcule séparément le carré du plus grand côté, puis la somme des carrés des deux autres, avec « d’une part » et « d’autre part ». Tu compares ensuite les deux résultats. N’écris jamais l’égalité avant de savoir qu’elle est vraie.

Exercice 4 : utiliser la réciproque

Énoncé. Le triangle KLM est tel que KL = 7 cm, LM = 24 cm et KM = 25 cm. Est-il rectangle ?

Corrigé. [KM] est le plus grand côté. D’une part, KM² = 25² = 625. D’autre part, KL² + LM² = 7² + 24² = 49 + 576 = 625. On constate que KM² = KL² + LM². D’après la réciproque du théorème de Pythagore, le triangle KLM est rectangle en L.

Exercice 5 : utiliser la contraposée

Énoncé. Le triangle EFG est tel que EF = 5 cm, FG = 6 cm et EG = 8 cm. Est-il rectangle ?

Corrigé. [EG] est le plus grand côté. D’une part, EG² = 8² = 64. D’autre part, EF² + FG² = 5² + 6² = 25 + 36 = 61. Donc EG² ≠ EF² + FG². Si le triangle EFG était rectangle en F, on aurait EG² = EF² + FG² d’après le théorème de Pythagore. Ce n’est pas le cas : d’après la contraposée du théorème de Pythagore, le triangle EFG n’est pas rectangle.

Astuce : les triplets 3-4-5, 5-12-13, 8-15-17 et 7-24-25 donnent des triangles rectangles, comme leurs multiples (6-8-10, 9-12-15). Les reconnaître te fait gagner du temps. Mais la différence entre 61 et 64 montre qu’un « presque égal » ne suffit jamais.

Un problème concret de type brevet

Exercice 6 : l’échelle contre le mur

Énoncé. Une échelle de 6,5 m est posée contre un mur vertical, sur un sol horizontal. Son pied est à 2,5 m du mur. a) À quelle hauteur du sol l’échelle touche-t-elle le mur ? b) Peut-elle atteindre le rebord d’une fenêtre situé à 6,4 m du sol, sans déplacer son pied ?

Corrigé. Fais d’abord un schéma. Appelle S le pied de l’échelle, M le pied du mur et H le sommet de l’échelle. Le mur est vertical et le sol horizontal, donc le triangle SMH est rectangle en M.

1. Dans le triangle SMH rectangle en M, d’après le théorème de Pythagore, SH² = SM² + MH².
2. 6,5² = 2,5² + MH², soit 42,25 = 6,25 + MH².
3. MH² = 42,25 − 6,25 = 36, donc MH = √36 = 6 m.
4. a) L’échelle touche le mur à 6 m du sol.
5. b) 6 m est inférieur à 6,4 m : l’échelle n’atteint pas le rebord de la fenêtre.

Les questions des élèves de 3e

Comment savoir quel côté est l’hypoténuse quand la figure est tournée ?

L’hypoténuse est le côté qui ne touche pas l’angle droit, donc celui qui lui fait face. Repère d’abord le sommet de l’angle droit, puis cherche le segment qui joint les deux autres sommets. C’est aussi le plus long côté du triangle.

Faut-il écrire la valeur exacte ou la valeur arrondie ?

Écris ce que demande la question. Sans consigne d’arrondi, laisse la racine, par exemple √65 cm, ou donne le résultat exact s’il tombe juste. Avec « arrondi au dixième », donne une valeur décimale avec un chiffre après la virgule, et garde le signe ≈.

Si je trouve une racine carrée d’un nombre négatif, qu’ai-je fait ?

Tu as soustrait dans le mauvais sens : tu as pris un côté de l’angle droit pour l’hypoténuse, puis retiré le carré de l’hypoténuse au sien. Or l’hypoténuse est toujours plus longue que chacun des deux autres côtés. Reprends la figure, repère l’angle droit et recommence l’égalité avec les lettres.

Une leçon de l’équipe Révision Brevet.